%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Contents: Math typesetting with LaTeX % $Id: F-BD65826A9DB5085DAF6992A66E92B128.tex,v 1.1 2008-03-06 19:21:17 carleos Exp $ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Composición de fórmulas matemáticas} \begin{intro} ¡Ahora está listo! En este capítulo, abordaremos la mayor aptitud de \TeX{}: la composición matemática. Pero cuidado, este capítulo solo trata la superficie. Aunque lo que se explica aquí basta para mucha gente, no desespere si no encuentra aquí la solución a sus necesidades de composición matemática. Es muy probable que su problema haya sido abordado en \AmS-\LaTeX{}\footnote{La \emph{American Mathematical Society} (Sociedad Matemática Estadounidense) ha producido una potente extensión de \LaTeX{}. Muchos de los ejemplos de este capítulo hacen uso de dicha extensión. Todas las distribuciones recientes de \TeX{} la proporcionan. Si la suya no la tiene, visite \CTANref|macros/latex/required/amslatex|.} \end{intro} \section{Generalidades} \LaTeX{} tiene un modo especial para componer \wi{matemáticas}. Hay dos posibildades: escribir las matemáticas dentro de un párrafo, en el mismo renglón que el resto del texto, o partir el párrafo para componer las matemáticas aparte, destacadas. El texto matemático \emph{dentro} del párrafo se introduce entre \ci{(} y \ci{)}, \index{$@\texttt{\$}}, %$ entre \texttt{\$} y \texttt{\$}, o entre %} \verb|\begin{|\ei{math}\verb|}| y \verb|\end{math}|.\index{formulae} \begin{example} Sume $a$ al cuadrado y $b$ al cuadrado para obtener $c$ al cuadrado. Más formalmente: $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ \end{example} \begin{example} \TeX{} se pronuncia como \(\tau\epsilon\chi\).\\[6pt] 100~m$^{3}$ de agua\\[6pt] De todo \begin{math}\heartsuit\end{math} \end{example} Si quiere que sus ecuaciones o fórmulas matemáticas más grandes se sitúen destacadas aparte del resto del párrafo, es preferible \emph{aislarlas}. Para ello, puede encerrarlas entre \ci{[} y \ci{]}, entre \verb|\begin{|\ei{displaymath}\verb|}| y \verb|\end{displaymath}|, o entre \verb|\begin{|\ei{equation}\verb|}| y \verb|\end{equation}|. \begin{example} Sume $a$ al cuadrado y $b$ al cuadrado para obtener $c$ al cuadrado. Más formalmente: \begin{displaymath} c^{2}=a^{2}+b^{2} \end{displaymath} o puede teclear menos con: \[c^2=a^2+b^2\] \end{example} Si quiere que \LaTeX{} enumere sus ecuaciones, puede usar el entorno \ei{equation}. Puede etiquetar mediante \ci{label} la ecuación con un número y referirse a éste desde otro lugar del texto usando \ci{ref} o la orden \ci{eqref} del paquete \pai{amsmath}: \begin{example} \begin{equation} \label{eq:eps} \epsilon > 0 \end{equation} De (\ref{eq:eps}), se deduce \ldots{} De \eqref{eq:eps} se deduce lo mismo. \end{example} Observe las diferencias de estilo entre las ecuaciones en párrafo y las aisladas: \begin{example} $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$ \end{example} \begin{example} \begin{displaymath} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \end{displaymath} \end{example} Hay diferencias entre \emph{modo matemático} y \emph{modo texto}. Por ejemplo, en \emph{modo matemático}: \begin{enumerate} \item La mayoría de los espacios y saltos de línea no significan nada, pues todos los espacios se deducen lógicamente de las expresiones matemáticas, o tienen que ser indicados con órdenes especiales como \ci{,}, \ci{quad} o \ci{qquad}. \item No se permiten renglones vacíos. Sólo un párrafo por fórmula. \item Cada letra se considera como nombre de una variable y como tal será compuesta. Si quiere componer texto normal dentro de una fórmula (tipo redondo y espaciado normal) entonces tiene que introducir el texto usando las órdenes \verb|\textrm{...}| (véase también la sección \ref{sec:fontsz} en la página \pageref{sec:fontsz}). \end{enumerate} \begin{example} \begin{equation} \forall x \in \mathbf{R}: \qquad x^{2} \geq 0 \end{equation} \end{example} \begin{example} \begin{equation} x^{2} \geq 0\qquad \textrm{para todo }x\in\mathbf{R} \end{equation} \end{example} % % Add AMSSYB Package ... Blackboard bold .... R for realnumbers % Los matemáticos pueden ser muy quisquillosos sobre qué símbolos usar: sería tradicional usar aquí la `\wi{negrita de pizarra}', \index{negrita} que se obtiene usando \ci{mathbb} del paquete \pai{amsfonts} o \pai{amssymb}. \ifx\mathbb\undefined\else El último ejemplo se convierte en \begin{example} \begin{displaymath} x^{2} \geq 0\qquad \textrm{para todo }x\in\mathbb{R} \end{displaymath} \end{example} \fi \section{Agrupación en modo matemático} La mayoría de las órdenes en modo matemático actúan sólo sobre el siguiente carácter, así que si quiere que una orden afecte a varios caracteres, debe agruparlos juntos entre llaves: \verb|{...}|. \begin{example} \begin{equation} a^x+y \neq a^{x+y} \end{equation} \end{example} \section{Construcción de bloques de una fórmula matemática} Esta sección describe las órdenes más importantes usadas en composición matemática. Eche un vistazo a la sección~\ref{symbols} en la página~\pageref{symbols} donde se muestra una lista detallada de órdenes para componer símbolos matemáticos. Las \textbf{\wi{letras griegas} minúsculas} se introducen con \verb|\alpha|, \verb|\beta|, \verb|\gamma|, \ldots, las mayúsculas se introducen con \verb|\Gamma|, \verb|\Delta|, \ldots\footnote{No hay definida una alfa mayúscula en \LaTeXe{} porque parece igual que una A latina normal. Cuando se termine el nuevo código matemático, las cosas cambiarán.} \begin{example} $\lambda,\xi,\pi,\mu,\Phi,\Omega$ \end{example} Los \textbf{exponentes y subíndices} pueden indicarse con\index{exponent}\index{subscript} los caracteres \verb|^|\index{^@\verb"|^"|}~y~\verb|_|\index{_@\verb"|_"|}. \begin{example} $a_{1}$ \qquad $x^{2}$ \qquad $e^{-\alpha t}$ \qquad $a^{3}_{ij}$\\ $e^{x^2} \neq {e^x}^2$ \end{example} La \textbf{\wi{raíz cuadrada}} se introduce como \ci{sqrt}; la raíz $n^\mathrm{\acute esima}$ se genera con \verb|\sqrt[|$n$\verb|]|. El tamaño del signo de la raíz lo determina automáticamente \LaTeX. Si sólo necesita el signo (habitual en la tradición anglosajona, pero no en la tipografía española), use \verb|\surd|. \begin{example} $\sqrt{x}$ \qquad $\sqrt{ x^{2}+\sqrt{y} }$ \qquad $\sqrt[3]{2}$\\[3pt] $\surd[x^2 + y^2]$ \end{example} %\index{puntos!suspensivos} %\index{puntos!verticales} %\index{puntos!horizontales} %Si bien el signo de punto para indicar la operación de multiplicación normalmente se omite, se escribe a veces para ayudar al ojo en la agrupacion de una formula. Utilice \cdot para componer un solo punto centrado. \cdots son tres puntos centrados mientras \ldots establece los puntos bajos o suspensivos (en la línea de base). Además de eso, hay \vdots para puntos verticales y \ddots para puntos diagonales. \begin{example} $\Psi = v_1 \cdot v_2 \cdot \ldots \qquad n! = 1 \cdot 2 \cdots (n-1) \cdot n$ \end{example} Las órdenes \ci{overline} y \ci{underline} crean \textbf{líneas horizontales} justo encima o debajo de una expresión. \index{horizontal!línea} \begin{example} $\overline{m+n}$ \end{example} Las órdenes \ci{overbrace} y \ci{underbrace} crean \textbf{llaves horizontales} largas sobre o bajo una expresión. \index{horizontal!brace} \begin{example} $\underbrace{a+b+\cdots+z}_{26}$ \end{example} \index{matemático!acento} Para añadir acentos matemáticos como flechas pequeñas o \wi{tilde}s a las variables, puede usar las órdenes dadas en el Cuadro~\ref{mathacc} de la página \pageref{mathacc}. Se consiguen circunflejos anchos y tildes que cubren varios caracteres mediante \ci{widetilde} y \ci{widehat}. El símbolo \verb|'|\index{'@\verb"|'"|} produce una \wi{prima}. % a dash is -- \begin{example} \begin{displaymath} y=x^{2}\qquad y'=2x\qquad y''=2 \end{displaymath} \end{example} Los \textbf{vectores}\index{vectors} suelen indicarse añadiendo \wi{flecha}s pequeñas encima de una variable. Esto se hace con la orden \ci{vec}. Las dos órdenes \ci{overrightarrow} y \ci{overleftarrow} son útiles para denotar un vector desde $A$ hasta $B$. \begin{example} \begin{displaymath} \vec a\quad\overrightarrow{AB} \end{displaymath} \end{example} No se suele escribir un punto explícito para indicar una multiplicación; sin embargo, a veces sí se escribe para ayudar a los ojos del lector a agrupar los elementos de una fórmula. Puede usar \ci{cdot} en estos casos: \begin{example} \begin{displaymath} v = {\sigma}_1 \cdot {\sigma}_2 {\tau}_1 \cdot {\tau}_2 \end{displaymath} \end{example} Los nombres de funciones como log suelen componerse en una \fontnomo{} redonda, y no en cursiva como se hace con las variables, así que \LaTeX{} proporciona las siguientes órdenes para componer las nombres de funciones más importantes, tanto para documentos en inglés\ldots \index{mathematical!functions} \begin{tabular}{llllll} \ci{arccos} & \ci{cos} & \ci{csc} & \ci{exp} & \ci{ker} & \ci{limsup} \\ \ci{arcsin} & \ci{cosh} & \ci{deg} & \ci{gcd} & \ci{lg} & \ci{ln} \\ \ci{arctan} & \ci{cot} & \ci{det} & \ci{hom} & \ci{lim} & \ci{log} \\ \ci{arg} & \ci{coth} & \ci{dim} & \ci{inf} & \ci{liminf} & \ci{max} \\ \ci{sinh} & \ci{sup} & \ci{tan} & \ci{tanh}& \ci{min} & \ci{Pr} \\ \ci{sec} & \ci{sin} \\ \end{tabular} \ldots como para documentos en español: \begin{tabular}{llllll} \ci{cosec} & \ci{arcsen} & \ci{deg} & \ci{arctg} & \ci{cotg} & \ci{sen} \\ \ci{arg} & \ci{inf} & \ci{senh} & \ci{tg} & \ci{tgh} \\ \end{tabular} \begin{example} \[\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sen x}{x}=1\] \end{example} Para la función \wi{módulo}, hay dos órdenes: \ci{bmod} para el operador binario ``$a \bmod b$'' y \ci{pmod} para expresiones tales como ``$x\equiv a \pmod{b}$.'' \begin{example} $a\bmod b$\\ $x\equiv a \pmod{b}$ \end{example} Una \textbf{\wi{fracción}} vertical se compone con la orden \ci{frac}\verb|{...}{...}|. A menudo es preferible la forma horizontal $1/2$, porque queda mejor para cantidades pequeñas de ``material fraccional''. \begin{example} $1\frac{1}{2}$~horas \begin{displaymath} \frac{ x^{2} }{ k+1 }\qquad x^{ \frac{2}{k+1} }\qquad x^{ 1/2 } \end{displaymath} \end{example} Para componer coeficientes binomiales o estructuras similares, puede usar la orden \ci{binom} del paquete \pai{amsmath}. \begin{example} \begin{displaymath} \binom{n}{k}\qquad\mathrm{C}_n^k \end{displaymath} \end{example} Para relaciones binarias puede ser útil apilar símbolos uno sobre otro. \ci{stackrel} pone el símbolo dado en el primer argumento con tamaño superíndice sobre el segundo, que se coloca en su posición habitual. \begin{example} \begin{displaymath} \int f_N(x) \stackrel{!}{=} 1 \end{displaymath} \end{example} El operador \textbf{\wi{integral}} se genera con \ci{int}, el \textbf{\wi{sumatorio}} con \ci{sum} y el \textbf{\wi{productorio}} con \ci{prod}. Los límites superior e inferior se indican con~\verb|^| y~\verb|_| como los superíndices y subíndices.\index{superíndice} \footnote{\AmS-\LaTeX{} además tiene super-/subíndices multi-renglón.} \begin{example} \begin{displaymath} \sum_{i=1}^{n} \qquad \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \qquad \prod_\epsilon \end{displaymath} \end{example} Para controlar más aún la colocación de índices en expresiones complejas, \pai{amsmath} proporciona dos herramientas adicionales: la orden \ci{substack} y el entorno \ei{subarray}: \begin{example} \begin{displaymath} \sum_{\substack{0c$}\\ b+x & \textrm{por la mañana}\\ l & \textrm{el resto del día} \end{array} \right. \end{displaymath} \end{example} Al igual que con el entorno \verb|tabular|, puede también dibujar líneas en el entorno \ei{array}, p.ej. separando los elementos de una matriz: \begin{example} \begin{displaymath} \left(\begin{array}{c|c} 1 & 2 \\ \hline 3 & 4 \end{array}\right) \end{displaymath} \end{example} Para fórmulas que ocupan varios renglones o para \wi{sistemas de ecuaciones}, puede usar los entornos \ei{eqnarray} y \verb|eqnarray*| en lugar de \texttt{equation}. En \texttt{eqnarray} cada renglón lleva un número de ecuación; en \verb|eqnarray*| no se numera ninguno. Los entornos \texttt{eqnarray} y \verb|eqnarray*| funcionan como una tabla de tres columnas de la forma \verb|{rcl}|, donde la columna del medio puede usarse para el signo \emph{igual}, el signo \emph{distinto} o cualquier otro signo que quiera poner. La orden \verb|\\| cambia de renglón. \begin{example} \begin{eqnarray} f(x) & = & \cos x \\ f'(x) & = & -\sin x \\ \int_{0}^{x} f(y)dy & = & \sin x \end{eqnarray} \end{example} Tenga en cuenta que el espacio en ambos lados del signo \emph{igual} es bastante grande. Puede reducirse poniendo \verb|\setlength\arraycolsep{2pt}|, como en el siguiente ejemplo. \index{ecuaciones largas} Las \textbf{ecuaciones largas} no se dividen automáticamente en trozos adecuados. El autor ha de indicar dónde partirlas y cuánto sangrar los trozos. Los siguientes dos métodos son los más habituales para conseguirlo. \begin{example} {\setlength\arraycolsep{2pt} \begin{eqnarray} \sin x & = & x -\frac{x^{3}}{3!} +\frac{x^{5}}{5!}-{} \nonumber\\ && {}-\frac{x^{7}}{7!}+{}\cdots \end{eqnarray}} \end{example} \begin{example} \begin{eqnarray} \lefteqn{ \cos x = 1 -\frac{x^{2}}{2!} +{} } \nonumber\\ & & {}+\frac{x^{4}}{4!} -\frac{x^{6}}{6!}+{}\cdots \end{eqnarray} \end{example} %\enlargethispage{\baselineskip} La orden \ci{nonumber} dice a \LaTeX{} que no genere un número para la correspondiente ecuación. Puede resultar difícil conseguir ecuaciones alineadas en vertical de forma satisfactoria con estos métodos; el paquete \pai{amsmath} proporciona un conjunto de alternativas más potentes. (Véanse los entornos \verb|align|, \verb|flalign|, \verb|gather|, \verb|multline| y \verb|split|.) \section{Fantasmas} No podemos ver a los fantasmas, pero ocupan algo de espacio (al menos en la mente de mucha gente). \LaTeX{} no es diferente. Podemos aprovechar esto para conseguir ciertos efectos interesantes con el espaciado. Al alinear verticalmente texto usando \verb|^| y \verb|_| \LaTeX{} a veces se pasa un poco de listo. Mediante la orden \ci{phantom} puede reservar espacio para caracteres que no se muestran en la salida final. La forma más fácil de entenderlo es fijarse en los siguientes ejemplos. \begin{example} \begin{displaymath} {}^{12}_{\phantom{1}6}\textrm{C} \qquad \textrm{frente a} \qquad {}^{12}_{6}\textrm{C} \end{displaymath} \end{example} \begin{example} \begin{displaymath} \Gamma_{ij}^{\phantom{ij}k} \qquad \textrm{frente a} \qquad \Gamma_{ij}^{k} \end{displaymath} \end{example} \section{Tamaño de \fontnomo{} en matemáticas}\label{sec:fontsz} \index{tamaño de \fontnomo{} en matemático} En modo matemático, \TeX{} elige el tamaño de \fontnomo{} según el contexto. Superíndices, por ejemplo, se componen con una \fontnomo{} más pequeña. Si quiere componer parte de una ecuación con letra recta, no use la orden \verb|\textrm|, porque el mecanismo de cambio de tamaño de \fontnomo{} no funcionará, pues \verb|\textrm| se escapa temporalmente a modo texto. Use \verb|\mathrm| en su lugar para mantener activo el mecanismo de cambio. Pero esté atento, \ci{mathrm} sólo funcionará bien sobre argumentos cortos. Los espacios no estarán activos y los caracteres acentuados no funcionarán.\footnote{El paquete \AmS-\LaTeX{} (\pai{amsmath}) permite que la orden \ci{textrm} funcione con el cambio de tamaño.} \begin{example} \begin{equation} 2^{\textrm{nd}} \quad 2^{\mathrm{nd}} \end{equation} \end{example} A veces tendrá que indicar a \LaTeX{} el tamaño de \fontnomo{} correcto. En modo matemático, éste se establece con las siguientes cuatro órdenes: \begin{flushleft} \ci{displaystyle}~($\displaystyle 123$), \ci{textstyle}~($\textstyle 123$), \ci{scriptstyle}~($\scriptstyle 123$) and \ci{scriptscriptstyle}~($\scriptscriptstyle 123$). \end{flushleft} El cambio de estilo afecta también al modo en que se muestran los límites. \begin{example} \begin{displaymath} \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n(x_i-\overline x) (y_i-\overline y)} {\displaystyle\biggl[ \sum_{i=1}^n(x_i-\overline x)^2 \sum_{i=1}^n(y_i-\overline y)^2 \biggr]^{1/2}} \end{displaymath} \end{example} % This is not a math accent, and no maths book would be set this way. % mathop gets the spacing right. Este es un ejemplo con corchetes más grandes que los que proporciona \verb|\left[ \right]|. Las órdenes \ci{biggl} y \ci{biggr} se usan para paréntesis izquierdos y derechos respectivamente. \section{Lemas, teoremas, corolarios, \ldots} Al escribir documentos matemáticos, probablemente necesite una manera de componer ``Lemas'', ``Definiciones'', ``Axiomas'' y estructuras similares. Esto se hace con la orden \verb!newtheorem!. \begin{lscommand} \ci{newtheorem}\verb|{|\emph{nombre}\verb|}[|\emph{contador}\verb|]{|% \emph{texto}\verb|}[|\emph{sección}\verb|]| \end{lscommand} El argumento \emph{nombre} es una palabra corta usada para identificar el tipo de ``teorema''. Con el argumento \emph{texto} se define el nombre real del ``teorema'', que aparecerá en el documento final. Los argumentos entre corchetes son opcionales. Se usan ambos para indicar la numeración usada en el ``teorema''. Use el argumento \emph{contador} para indicar el \emph{nombre} de un ``teorema'' declarado con anterioridad. El nuevo ``teorema'' se numerará en la misma secuencia. El argumento \emph{sección} le permite indicar una unidad de sección de la cual el ``teorema''tomará sus números. Tras ejecutar la orden \ci{newtheorem} en el preámbulo de su documento, puede usar la siguiente orden dentro del documento. \begin{code} \verb|\begin{|\emph{nombre}\verb|}[|\emph{texto}\verb|]|\\ Este es mi interesante teorema\\ \verb|\end{|\emph{nombre}\verb|}| \end{code} El paquete \pai{amsthm} proporciona la orden \ci{newtheoremstyle}\verb|{|\emph{estilo}\verb|}| que le permite definir sobre qué va el teorema escogiendo entre tres estilos predefinidos: \texttt{definition} (título en negrita, cuerpo en recta), \texttt{plain} (título en negrita, cuerpo en cursiva) o \texttt{remark} (título en cursiva, cuerpo en recta). Esto debería bastar como teoría. Los siguientes ejemplos deberían despejar las dudas restantes, y dejar claro que el entorno \verb|\newtheorem| es demasiado complejo de entender. % actually define things \theoremstyle{definition} \newtheorem{ley}{Ley} \theoremstyle{plain} \newtheorem{jurado}[ley]{Jurado} \theoremstyle{remark} \newtheorem*{marg}{Margarita} Primero defina los teoremas: \begin{verbatim} \theoremstyle{definition} \newtheorem{ley}{Ley} \theoremstyle{plain} \newtheorem{jurado}[ley]{Jurado} \theoremstyle{remark} \newtheorem*{marg}{Margarita} \end{verbatim} \begin{example} \begin{ley} \label{ley:caja} No esconder en la caja negra \end{ley} \begin{jurado}[Los Doce] ¡Podría ser usted! Cuidado y vea la ley~\ref{ley:caja} \end{jurado} \begin{marg}No, No, No\end{marg} \end{example} El teorema ``Jurado'' usa el mismo contador que el teorema ``Ley'', así que le corresponde un número en secuencia con las otras ``Leyes''. El argumento entre corchetes se usa para indicar un título o algo similar para el teorema. \begin{example} \flushleft \newtheorem{mur}{Murphy}[section] \begin{mur} Si hay dos o más formas de hacer algo, y una de ellas puede resultar catastrófica, entonces alguien la escogerá. \end{mur} \end{example} El teorema ``Murphy'' recibe un número que está ligado al número de la sección actual. Podría usar otra unidad, como por ejemplo \verb+chapter+ o \verb+subsection+. El paquete \pai{amsthm} también proporciona \ei{proof} para demostraciones. \begin{example} \begin{proof} Trivial, use \[E=mc^2\] \end{proof} \end{example} Con la orden \ci{qedhere} puede mover el `símbolo de fin de demostración' para las situaciones en que terminaría solo en un renglón. \begin{example} \begin{proof} Trivial, use \[E=mc^2 \qedhere\] \end{proof} \end{example} \section{Símbolos en negrita} \index{símbolos en negrita} Es bastante difícil conseguir símbolos en negrita en \LaTeX{}; probablemente es a propósito, pues los compositores aficionados tienden a abusar de ellos. La orden de cambio de \fontnomo{} \verb|\mathbf| da letras en negrita, pero éstas son rectas mientras que los símbolos matemáticos son normalmente en cursiva. Hay una orden \ci{boldmath}, pero \emph{sólo puede usarse fuera del modo matemático}. Funciona también para símbolos. \begin{example} \begin{displaymath} \mu, M \qquad \mathbf{M} \qquad \mbox{\boldmath $\mu, M$} \end{displaymath} \end{example} %\noindent Fíjese en que la coma también es negrita, lo que puede no ser lo que se pretende. El paquete \pai{amsbsy} (incluido por \pai{amsmath}) y también el \pai{bm} facilitan la labor al proporcionar la orden \ci{boldsymbol}. \ifx\boldsymbol\undefined\else \begin{example} \begin{displaymath} \mu, M \qquad \boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{M} \end{displaymath} \end{example} \fi % % Local Variables: % TeX-master: "lshort2e" % mode: latex % mode: flyspell % End: